Двенадцатеричная система счисления
Двенадцатеричная система счисления — позиционная система с основанием 12: цифр двенадцать, веса разрядов 1, 12, 144, 1728. Двенадцать делится на 2, 3, 4 и 6, поэтому доли записываются конечно.
Цифры, дюжина и гросс
Основание 12 значит двенадцать цифр: от 0 до 9 и ещё две для чисел десять и одиннадцать. Единого стандарта для них нет. Проще всего взять A и B, как в шестнадцатеричной записи. Фрэнк Эмерсон Эндрюс в книге «New Numbers» (1935) предложил X и E — от римского десяти и английского eleven. А Айзек Питман ещё в 1857 году ввёл перевёрнутые двойку и тройку ↊ и ↋; в Юникод они вошли в версии 8.0 в 2015 году (U+218A и U+218B).
Счёт ведётся на дюжины. Дюжина — двенадцать, в двенадцатеричной записи это 1012. Гросс — дюжина дюжин, 144, то есть 10012. Большой гросс — 1728 = 12³, то есть 100012. Вес разряда, как и в любой позиционной системе, равен степени основания: 1, 12, 144, 1728.
| Десятичное число | В двенадцатеричной записи |
|---|---|
| 10 | A |
| 11 | B |
| 12 | 10 |
| 24 | 20 |
| 100 | 84 |
| 144 | 100 |
| 1728 | 1000 |
| 2026 | 120A |
Как получено 120A: 2026 делят на 12 с остатком, пока частное не станет нулём; остатки 10 (это A), 0, 2 и 1, прочитанные с конца, и дают 120A. Проверка: 1·1728 + 2·144 + 0·12 + 10 = 2026. Алгоритм для любых оснований разобран в обзоре систем счисления.
Почему двенадцать удобнее десяти для долей
У числа 12 шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6 и 12. У десяти их четыре: 1, 2, 5 и 10. Поэтому половина, треть, четверть и шестая часть в двенадцатеричной записи получаются конечными дробями, а в десятичной треть и шестая бесконечны.
| Доля | В десятичной записи | В двенадцатеричной записи |
|---|---|---|
| 1/2 | 0,5 | 0,6 |
| 1/3 | 0,(3) | 0,4 |
| 1/4 | 0,25 | 0,3 |
| 1/6 | 0,1(6) | 0,2 |
| 1/8 | 0,125 | 0,16 |
| 1/9 | 0,(1) | 0,14 |
| 1/5 | 0,2 | 0,(2497) |
| 1/10 | 0,1 | 0,1(2497) |
Плата за это — пятёрка: одна пятая в двенадцатеричной записи бесконечная дробь. Отдельный случай — вавилонская шестидесятеричная система: 60 = 5 × 12, она делится и на 5, и на 12.
Следы двенадцатеричного счёта
- 12 месяцев в году и циферблат с двенадцатью делениями;
- 12 дюймов в футе и 12 тройских унций в тройском фунте;
- 12 пенсов в шиллинге: до «десятичного дня» 15 февраля 1971 года британский фунт состоял из 20 шиллингов, то есть из 240 пенсов;
- дюжина и гросс в торговле штучным товаром.
Римляне тоже считали доли двенадцатыми. Унция (uncia) — это 1/12, секстанс — 2/12, квадранс — 3/12, трианс — 4/12, семис — 6/12, то есть половина. От uncia произошли английские ounce и inch. Как римская запись передаёт дроби, рассказано в статье про римские цифры.
Откуда у людей двенадцатеричный счёт, неизвестно. Жорж Ифра связывал его со счётом по фалангам четырёх пальцев, который ведут большим пальцем; это предположение остаётся спекулятивным. А германские слова eleven и twelve восходят к выражениям «один остался» и «два остались», то есть к десятичному счёту. В XX веке появились общества сторонников двенадцатеричной записи: американское (основано в 1944 году) и британское (1959).
Частые вопросы
Какими цифрами обозначают 10 и 11 в двенадцатеричной системе?
Единого стандарта нет. Обычно берут A и B, как в шестнадцатеричной записи. Сторонники двенадцатеричного счёта исторически пользовались X и E (предложение Эндрюса, 1935) или перевёрнутыми двойкой и тройкой ↊ ↋ (Питман, 1857). Последние входят в Юникод с версии 8.0, коды U+218A и U+218B.
Чем двенадцатеричная система отличается от десятичной и шестидесятеричной?
У неё двенадцать цифр против десяти, и веса разрядов — степени двенадцати. Она хорошо делится на 2, 3, 4 и 6, но плохо на 5. Шестидесятеричная вавилонская система делится ещё и на 5, зато требует шестидесяти знаков или составных обозначений. Все три — позиционные, различаются они основанием.
Используют ли двенадцатеричную систему в компьютерах?
Нет. Внутри техники основание два, а для чтения человеком — восемь или шестнадцать. Причина в байте: он укладывается в ровно две шестнадцатеричные цифры, от 00 до FF. В двенадцатеричной записи максимальный байт 255 занимает три знака (193), и двоичные группы с ней не стыкуются.
Откуда двенадцать в часах и месяцах?
Единого объяснения нет. Единицы времени во многих культурах двенадцатеричные: двенадцать месяцев, двенадцать знаков зодиака, двенадцать вавилонских часов в сутках, но причину выбора числа это не объясняет. Есть гипотеза Жоржа Ифра о счёте по фалангам пальцев, она остаётся спекулятивной. Бесспорно одно: двенадцать удобно делить — на двоих, троих, четверых и шестерых.