Египетские цифры

Семь знаков: от палочки до бога Хеха

Египтяне записывали числа иероглифами, и каждая степень десяти получила свой рисунок. Система появилась около 3000 года до н. э. и держится на семи знаках; числа собирают их повторением. Основание — десять, но разряды ничем не отмечены: значение знака не зависит от места, и потому система непозиционная. Основание здесь лишь задаёт шаг между знаками; чем оно отличается от позиционности, разобрано в статье об основании системы счисления.

Значение	Знак	Что нарисовано
1	палочка	вертикальная черта
10	дуга	путы для скота
100	спираль	свёрнутая верёвка
1 000	лотос	водяная лилия
10 000	палец	согнутый палец
100 000	головастик	личинка лягушки с хвостом
1 000 000	фигура Хеха	бог Хех с поднятыми руками

В Юникоде эти знаки есть: блок Egyptian Hieroglyphs начинается с U+13000, но отобразятся они только в шрифтах, которые его поддерживают. Поэтому в таблице знаки названы словами.

Как записывали число на примере 2026

Знак повторяют столько раз, сколько нужно, крупные ставят перед мелкими. Писать можно в любую сторону, даже вертикально. Число 2026 выглядит так: два лотоса (2000), две дуги (20) и шесть палочек (6) — всего десять знаков. Знак для сотен не нужен, потому что сотен ноль: пустой разряд просто не пишут.

Расплата за простоту — длина записи. Число знаков сравнивает таблица:

Число	Египетская запись	Римская запись	Арабские цифры
2026	10 знаков	6 (MMXXVI)	4
888	24 знака	12 (DCCCLXXXVIII)	3
999	27 знаков	6 (CMXCIX)	3

По описанию историка математики Карла Бойера, в скорописи, гиератике, запись сократили: единицы, десятки, сотни и тысячи получили отдельные знаки, и 9999 можно было записать четырьмя знаками вместо 36 иероглифов.

Чего в системе нет: нуля, вычитания, позиций

Нуля как знака пустого разряда египтяне не знали. Знак nfr («хороший, полный») ставили в бухгалтерии при нулевом остатке — так в папирусе около 1740 года до н. э., — но цифрой в записи числа он не был. Вычитательного приёма тоже нет: 4 — четыре палочки, а не «пять без одной», как в римском IV. Римская запись использует латинский алфавит и вычитание (подробности — в статье про римские цифры).

С позиционными системами сравнение резче. Вавилонская шестидесятеричная записывалась клинописью, и значение знака определяло его место — так работает позиционная система. У египтян значения остались привязаны к рисунку. Общий разбор непозиционных систем есть в обзоре систем счисления, здесь он не повторяется.

Дроби в этой записи — суммы долей с единичным числителем; исключение — особые знаки для 2/3 и, реже, для 3/4. В папирусе Райнда (около 1550 года до н. э., копия писца Ахмеса со старого текста) есть таблица, где 2/n для нечётных n от 3 до 101 разложены на такие доли.

Частые вопросы

Был ли в Египте нуль?

Как цифры для пустого разряда — нет. Пустую позицию в числе просто пропускали. Знак nfr использовали в бухгалтерских записях для нулевого остатка, но это отметка счёта, а не часть числа. Нуль как знак пустого разряда пришёл к нам из Индии вместе с арабскими цифрами.

Как записывался миллион?

Одним знаком — фигурой бога Хеха. Это самый крупный знак системы, для чисел побольше нужно повторять его. Для сравнения: 999 999 потребует 54 знака, по девять каждого из шести младших рисунков, и это ещё без Хеха. Короткой записи у системы нет, потому что нет разрядов.

Чем египетские цифры отличаются от римских?

Египетские — иероглифы, римские — латинские буквы. У римских есть вычитательное правило (IV, IX) и знаки для пятёрок: V, L, D, а египтяне строили всё повторением семи знаков десятичных ступеней. Обе системы непозиционные и обе без нуля, но римская запись заметно короче.

Как египтяне умножали числа?

Удвоением. Чтобы умножить 25 на 7, раскладывали 25 на 16 + 8 + 1, удваивали семёрку до 14, 28, 56 и 112, затем складывали нужные удвоения: 112 + 56 + 7 = 175. Способ известен по папирусам Райнда и московскому. По сути это умножение столбиком с множителем в двоичной записи, хотя двоичной системы египтяне не знали.